微分算子本征函数符号相关性的一个普适律

我们针对在紧区间上满足某种 WKB 近似形式的函数序列 $\{w_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ 建立了一个普适律。这包括一般薛定谔算子的本征函数,以及拉盖尔多项式和切比雪夫多项式。给定两个不同的点 $x, y \in \mathbb{R}$,我们考察 $w_n(x)$ 与 $w_n(y)$ 符号相同的频率。渐近地,人们预期这在一半时间内成立,但事实并非总是如此。在某些自然假设下,我们证明对所有 $x \neq y$,$$\frac{1}{3} \leq \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \# \left\{0 \leq n < N: \mathrm{sgn}(w_n(x)) = \mathrm{sgn}(w_n(y)) \right\} \leq \frac{2}{3},$$ 且这些界是最优的,并且可以达到。我们的方法可推广到其它类似性质的问题,并且我们也讨论了一些未解决的问题。