通过几何量子化统一量子 de Finetti 定理与 SoS 舍入方法

半定程序的平方和层次已成为理论计算机科学中算法设计的常用工具，包括量子信息中的问题。在本工作中，我们研究与量子 de Finetti 定理相关的 SoS 层次的厄米版本与紧 Kähler 流形（如复射影空间 $\mathbb{C}P^{d}$，即 $(d+1)$-维 Hilbert 空间中所有纯态的集合）的几何量子化之间的联系。我们证明 previously 已知的 HSoS 舍入算法可以重新表述为对一个目标函数进行量子化以获得有限维矩阵，求其主特征向量，然后（可能非构造性地）使用 Husimi 拟概率分布的一个版本对其进行舍入。对偶地，我们通过逆序执行相同步骤恢复了大多数已知的量子 de Finetti 定理：量子态首先由其 Husimi 分布近似，然后被量子化以获得逼近原态的分离态。当流形上存在传递群作用时，我们给出了现有 de Finetti 定理的一些新证明，以及一些应用，包括利用 Borel–Weil–Bott 定理证明的 Renner 指数 de Finetti 定理的新版本，以及 \textsc{Quantum Max-$d$-Cut} 的基本 SDP 松弛的近似困难性结果和最优度-2 积分间隙（对任意 $d$）。我们还描述了在没有传递群作用的情况下如何证明这些结果。在这些情况下，我们可以推导出 HSoS 层次在光滑复射影簇上的一些误差界。