Lyapunov 方程的 Trek 法则

Lyapunov 方程是刻画高斯马尔可夫过程截面稳态协方差矩阵的线性矩阵方程。我们展示了该方程的一个新版 Trek 法则，它将过程的漂移的图结构连接到稳态协方差矩阵的条目。一般而言，Trek 法则是协方差矩阵关于漂移矩阵和波动矩阵条目的幂级数展开。对于无环模型，它简化为漂移矩阵非对角条目的多项式。利用 Trek 法则，我们可以为漂移矩阵的某些特殊情况给出协方差矩阵条目的相对显式公式。这些结果揭示了 Lyapunov 方程所蕴含的协方差模型与线性加性噪声模型所蕴含的协方差模型之间的显著差异。为进一步探索这两类模型之间的差异与相似性，我们利用 Trek 法则推导了无环情况下边际方差的新下界。这阐明了在线性加性噪声模型中已知的一个现象，即无环情况下的方差倾向于沿变量的拓扑排序递增。