平稳高斯序列二次变差的三阶矩定理与精确渐近性
概率论
2018-06-05 v1
摘要
在两篇新论文（Bierme 等，2013）和（Nourdin 与 Peccati，2015）中，给出了尖锐的通用定量界，以补充著名的 Nualart 和 Peccati 四阶矩定理——该定理表明固定 Wiener 混沌中的序列收敛于正态分布当且仅当其四阶累积量收敛于 。这些界表明收敛速度恰好是四阶累积量与三阶矩（累积量）绝对值之最大值的阶。针对平稳高斯序列的归一化中心化二次变差这一特例，我们证明了三阶矩定理成立：收敛发生当且仅当序列的三阶矩趋于 。这对于具有一般递减协方差的序列，利用（Nourdin 与 Peccati，2015）的结果并找出二次变差的三阶和四阶累积量收敛于 的确切速度得以证明。（Nourdin 与 Peccati，2015）还使我们能推导一类对数调制协方差结构下收敛速度的定量估计，这揭示了研究分数布朗运动二次变差收敛时临界 Hurst 参数的概念。我们还研究了极限非高斯而是二阶 Wiener 混沌律时的收敛速度。利用对数调制的谱密度类，我们重获了 Dobrushin-Major/Taqqu 的经典结果，即极限为 Rosenblatt 律，并给出了新的收敛速度。此情况下的结论是：尽管有缓慢变化的调制但仍获得 Rosenblatt 极限所付出的代价是非常慢的收敛速度，大致与调制同阶。
引用
@article{arxiv.1603.00365,
title = {A third-moment theorem and precise asymptotics for variations of stationary Gaussian sequences},
author = {Leo Neufcourt and Frederi Viens},
journal= {arXiv preprint arXiv:1603.00365},
year = {2018}
}