随机级数的不变性原理 II. 非高斯极限

我们研究以下形式级数在总变差距离下的收敛性：$$S_{N}(c,Z)=\sum_{l=1}^{N}\sum_{i_{1}<\cdots<i_{l}}c(i_{1},...,i_{l})Z_{i_{1}}\cdots Z_{i_{l}},$$ 其中 $Z_{k},k\in {\mathbb{N}}$ 是满足 ${\mathbb{E}}(Z_{k}^{2})=1$ 的独立中心化随机变量。这属于在现代统计学中扮演重要角色的 $U$--统计量理论框架。在 $Z_{k},k\in {\mathbb{N}}$ 为标准正态的情况下，$S_{N}(c,Z)$ 是前 $N$ 个 Wiener 混沌之和的一个元素，并且从 D. Nualart 和 G. Peccati 的开创性论文开始，此类泛函向高斯律的收敛已被广泛研究。因此，有趣的点在于研究不变性原理，即将高斯随机变量替换为具有一般分布律的随机变量。这在先前几篇论文中使用 Fortet--Mourier 距离、Kolmogorov 距离或总方差距离进行了研究。特别是，在本文的第 I 部分（高斯极限）中，给出了用四阶累积量表示的总方差距离的估计。但是，正如著名的 Nualart 和 Peccati 四阶矩定理所示，此类估计适用于处理高斯极限。在本文中，我们研究向一般极限的收敛，该极限可能是非高斯的，因此误差的估计必须仅用低影响因子来表示。