一个涉及双四次方的对称丢番图方程

本文研究丢番图方程 $\sum_{i=1}^na_ix_i^4= \sum_{i=1}^na_iy_i^4$，其中 $n \geq 3$ 且 $a_i,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,n$ 为任意整数。尽管近期已给出获得此类方程数值解的方法，但似乎该丢番图方程的显式参数解尚未发表。我们对任意 $a_i$ 值和任何正整数 $n \geq 3$ 得到了该方程的多参数解，并推导出当 $n=3$ 和 $n=4$ 时的具体解。由此得到的数值解比先前获得的此类方程的整数解小得多。