算子次理想综述及次理想迹引论

B(H) 中的算子理想已被充分理解并得到利用，但其内部的理想直到最近才开始被研究，始于 Fong 和 Radjavi 1983 年的开创性工作，并延续至本综述作者的近期两篇文章。本文综述了体现于这三项文章中的研究。次理想是任意 B(H) 理想 $J$ 的双边理想（为明确起见也称为 $J$-理想）。在此术语下，我们交替称 $J$ 为 B(H)-理想。本综述涵盖了这三篇文章，其中我们完整刻画了由基数严格小于连续统基数的集合生成的所有 $J$-理想。因此，一个核心主题是生成集对次理想代数结构的影响。该刻画特别包括了有限生成和可数生成的 $J$-理想。它是通过首先将 Fong-Radjavi 1983 年的工作推广到任意主 $J$-理想而获得的，后者确定了哪些主 K(H)-理想也是 B(H)-理想。我们研究中的一个关键性质被证明是 $J$ 内 B(H)-理想 $I$ 的 $J$-软性，即 $IJ = I$，这是对 Kaftal-Weiss 引入的 B(H)-理想的 K(H)-软性这一近期概念的推广，而该概念早前已被 Mityagin 和 Pietsch 用于 Banach 空间。次理想的研究与具有系数约束的初等算子的研究密切相关。在此，我们还引入并研究了次理想迹的概念，其中经典迹（酉不变线性泛函）对于非 B(H)-理想的次理想可能无意义。