体积谱的一个次可加不等式

设 $(M,g)$ 为闭黎曼流形，$\{\omega_p\}_{p=1}^{\infty}$ 为 $(M,g)$ 的体积谱。我们将证明对所有 $k,m\geq 0$，有 $\omega_{k+m+1}\leq \omega_k+\omega_m+W$，其中 $\omega_0=0$，$W$ 为 $(M,g)$ 的单参数 Almgren-Pitts 宽度。我们也将利用 Allen-Cahn 方法证明 $\varepsilon$-相变谱 $\{c_{\varepsilon}(p)\}_{p=1}^{\infty}$ 的类似不等式。