$S_{n}$ 中平衡独裁函数的稳定性结果

我们证明，若 $S_{n}$ 上的平衡布尔函数的傅里叶变换高度集中在 $S_{n}$ 的前两个不可约表示上，则该函数在结构上接近独裁函数，即由单个元素的像或原像决定的函数。作为推论，我们获得了关于由对换生成的 $S_{n}$ 凯莱图中极值等周集的稳定性结果。我们的证明适用于函数期望值远离 0 和 1 的情况。相比之下，[Ellis, D., Filmus, Y., Friedgut, E., A quasi-stability result for dictatorships in $S_{n}$, Combinatorica 35 (2015), pp. 573-618] 处理的是期望值为 O(1/n) 且傅里叶变换高度集中在 $S_{n}$ 前两个不可约表示上的布尔函数。这类函数不必接近独裁函数；相反，它们必须接近有限个点稳定子陪集的并集。