渗流中自由能在临界点的奇异性

考虑三角格点上的渗流。令 $\kappa(p)$ 为零场下的自由能。我们证明 $$|\kappa'''(p)| \leq |p-p_c|^{-1/3+o(1)} \mbox{ 若 } p \neq p_c.$$ 此外,我们证明存在序列 $\epsilon_n\downarrow 0$ 使得 $$|\kappa'''(p_c\pm \epsilon_n)|\geq \epsilon_n^{-1/3+o(1)}.$$ 这肯定地回答了 Sykes 和 Essam 半个世纪前提出的一个猜想,即 $\kappa(p)$ 在临界点是否有奇异性。