Heisenberg型及相关群的可解扩张上的尖乘数定理

设$G$为半直积$N \rtimes \mathbb{R}$，其中$N$为分层李群，$\mathbb{R}$通过自同构膨胀作用于$N$。$N$和$\mathbb{R}$上的齐次左不变次拉普拉斯算子可提升到$G$，其和$\Delta$是$G$上的左不变次拉普拉斯算子。在Ottazzi、Vallarino和第一作者先前的联合工作中，证明了$\Delta$的Mihlin--Hörmander型谱乘数定理，表明若$F$满足阶数$s > (Q+1)/2$的尺度不变光滑性条件（其中$Q$为$N$的齐次维数），则形如$F(\Delta)$的算子是弱$(1,1)$型且对所有$p \in (1,\infty)$在$L^p(G)$上有界。本文证明，若$N$为Heisenberg型群，或更一般地是Métivier群与交换群的直接乘积，则光滑性条件可降低至尖阈值$s>(d+1)/2$，其中$d$为$N$的拓扑维数。证明基于将$N$上的加权Plancherel估计提升到$G$，并利用了$\Delta$与Bessel--Kingman超群半直扩张上类似算子的函数演算之间的关系。