一个涉及双曲与反双曲函数的锐不等式

我们证明不等式 $$\cosh \left( \mathrm{arcosh}(2 \cosh u) \cdot \tanh u \right) < \exp \left( u \cdot \tanh u \right)$$ 对所有 $u > 0$ 成立。我们用计算程序 Mathematica 验证，左端与右端之比对所有 $u \ge 0$ 大于 0.97，因此这是一个相当锐的不等式。它也等价于如下两个不等式中的任意一个： $$\cosh \left( \sqrt{1 - \frac{1}{t^2}} \cdot \mathrm{arcosh}\,{2t} \right) < \exp \left( \sqrt{1 - \frac{1}{t^2}} \cdot \mathrm{arcosh}\,{t} \right)$$ 对所有 $t > 1$，以及 $$\cosh \left( c \cdot \mathrm{arcosh}{\frac{2}{\sqrt{1-c^2}}} \right) < \exp \left( c \cdot \mathrm{arcosh}{\frac{1}{\sqrt{1-c^2}}} \right)$$ 对所有 $c \in (0,1)$。