六次曲面不可能拥有66个节点
摘要
设S是复射影3空间中的一个曲面，仅含节点作为奇异点。若S的次数为6，我们证明S最多只能拥有65个节点。以下简要回顾相关历史：Basset证明S至多可拥有66个节点。Catanese和Ceresa、Stagnaro构造了拥有64个节点的六次曲面。Barth最近构造了一个拥有65个节点的曲面。我们完成了这一 story，通过证明S不可能拥有66个节点。设f:S̃→S为S奇异点的最小解析。若存在一个节点集合N，使得存在S̃上某个除子Q满足2Q ~ f^{-1}(N)，则称N为偶节点集合。我们证明，非空的偶节点集合的大小必须为24、32、40、56或64。此结果是证明不存在66节点曲面的关键。我们尚不知道是否存在65个节点的六次曲面。大型偶节点集合的存在性与否与以下消失问题相关：设S是CP^3中次数为s的正规曲面，设D是S上的一个 Weil 除子，使得D在Q意义下等价于rH，其中r∈Q。在何种情况下我们有H^1(O_S(D))=0？例如，当r<0时，该等式成立。当s=4且r=0时，H^1可能为非零。当s=6且r=0时，若存在65或64个节点的偶节点集合，则H^1可能为非零。H^1的消失也与P^3中集合论完全交叉的线性正规性、二次正规性等有关。
引用
@article{arxiv.alg-geom/9502001,
title = {A sextic surface cannot have 66 nodes},
author = {David B. Jaffe and Daniel Ruberman},
journal= {arXiv preprint arXiv:alg-geom/9502001},
year = {2008}
}
备注
19 pages; the body of the paper is distributed as a compressed postscript file at ftp://mathlab03.unl.edu/pub/faculty/jaffe/sextic.Z The paper will print nicely on a 600 dpi printer; on lower resolution printers, one picture will be blurred. Hard copy is available from the authors: [email protected], [email protected]