Lorenz关于Hegselmann-Krause模型“共识回击”现象的严格表述与部分结果

在2006年的一篇论文中,Jan Lorenz在Hegselmann-Krause模型的数值模拟中观察到了一种奇特行为:在某些情况下,使个体更具封闭思维反而能从原本导致分裂的稠密意见配置中产生共识。假设考虑在区间长度$L$上等距分布的初始意见。正如Lorenz首次观察到的,模拟表明存在三个区间$[0, L_1)$、$(L_1, L_2)$和$(L_2, L_3)$,其中$L_1 \approx 5.23$、$L_2 \approx 5.67$、$L_3 \approx 6.84$,使得当个体数足够大时,共识在第一和第三区间发生,而在第二区间系统分裂为三个簇。本文中,我们证明了当$L \leq 5.2$以及当$L$充分接近6时的共识。这些证明包含大量计算,原则上使用我们的方法可证明共识的$L$集合可借助更多计算力而扩展。我们还证明了发生共识的$L$集合是开集。此外,我们证明当等距系统确保共识时,这转而意味着当初始意见独立且均匀随机抽取时,对相同$L$值渐近几乎必然共识。因此我们猜想了一对相变,使Lorenz的“共识回击”假设的表述精确化。我们的方法利用了Blondel、Hendrickx和Tsitsiklis引入的连续个体模型。事实上,本文的一个贡献是给出了分别具有等距、均匀随机和连续个体的三种不同模型之间关系的表述,比现有文献中能找到的更为严格。