等间距智能体的 Hegselmann-Krause 动力学

我们考虑实轴上$n$个等间距观点的 Hegselmann-Krause 有界置信度动力学，其间隙等于置信度界限$r$，此处取$r=1$。我们证明了关于该构型演化的严格结果，证实了此前基于小$n$值模拟所提出的假设。具体而言，对于任意$n$，系统演化如下：每经过 5 个时间步，两端各有一组 3 个智能体断开连接，并在下一步坍缩为一个簇。这一过程持续进行，直到中间剩余的智能体少于 6 个；若$n$不是 6 的倍数，这些剩余智能体最终也会坍缩为一个簇。特别地，若$n$不是 6 的倍数，最终构型由$2\lfloor n/6 \rfloor$个大小为 3 的簇，加上中间一个大小为$n \pmod 6$的簇组成；而在冻结之前的时间步数为$5n/6 + O(1)$。我们还考虑了任意但恒定的智能体间距$d \in [0, 1]$下的动力学，并提出了三个主要发现。首先，我们证明了演化在某些（但非全部）$d$值下也是周期性的，并提供了数值证据表明对于所有$d$，某种“接近”周期性的现象仍然成立。其次，我们展示了一个$d$值，在该值下行为是周期性的，且冻结时间为$n + O(1)$，因此比$d = 1$时更慢。第三，我们提供了数值证据表明，当$d \to 0$时，冻结时间在数量级上可能更接近构型的直径$d(n-1)$，而非智能体数量$n$。