关于机器人中的距离场与测地流的黎曼几何视角

距离函数在机器人领域用于表示机器人与其环境之间的空间关系。它们提供了一种隐式、连续且可微的表示，能够无缝集成到控制、优化和学习中。虽然标准距离场依赖于欧几里得度量，但许多机器人任务本质上涉及非欧几里得结构。为此，我们通过求解黎曼几何欧拉方程来推广欧几里得距离场至更一般的度量空间，该方程是一个一阶偏微分方程，其解定义了距离场及其在流形上的相关梯度流，从而实现测地线和全局长度最小路径的计算。我们展示了测地距离场——即作为全局、连续且可查询字段的经典黎曼几何距离函数——对于涉及黎曼几何自然出现的广泛机器人问题非常有效。为实现此目标，我们提出了一种神经黎曼欧拉求解器 (NES)，该求解器以无网格的隐式表示求解该方程，能够扩展至高维机器人机械臂。训练利用基于物理的神经网络 (PINN) 目标，通过约束空间导数以PDE残差和边界及度量条件的形式实现，该模型由控制方程监督，无需已标记的距离或测地线。我们提出了两种NES变体，分别基于边界数据和基于空间变动的黎曼度量，凸显了神经参数化的灵活性。我们通过大量示例验证了该方法的有效性，生成涉及黎曼几何的各种机器人任务中的最小长度测地线。