Banach 空间含 $\ell_1(\kappa)$ 的重新赋范刻画

G. Godefroy 的一个结论断言：Banach 空间 $X$ 含有一个 $\ell_1$ 的同构拷贝，当且仅当存在等价范数 $|||\cdot|||$ 使得对 $X$ 的每个有限维子空间 $Y$ 和每个 $\varepsilon>0$，存在 $x\in S_X$ 使得对一切 $y\in Y$ 和 $r\in\mathbb R$ 有 $|||y+r x|||\geq (1-\varepsilon)(|||y|||+\vert r\vert)$。本文将该结果推广到更大的基数，证明若 $\kappa$ 是不可数基数，则 Banach 空间 $X$ 含有一个 $\ell_1(\kappa)$ 的拷贝，当且仅当 $X$ 上存在等价范数 $|||\cdot|||$ 使得对每个满足 $dens(Y)<\kappa$ 的 $X$ 的子空间 $Y$，存在范数为 1 的向量 $x$，使得当 $y\in Y$ 且 $r\in\mathbb{R}$ 时 $||| y+r x|||=|||y|||+\vert r\vert$。该结果回答了 S. Ciaci、J. Langemets 和 A. Lissitsin 提出的一个问题，他们曾猜想前述命题对无穷后继基数成立。我们还表明，在可数情形下，Godefroy 的结果无法改进到取 $\varepsilon=0$。