一种用于 -1 处黎曼 zeta 函数的重整化方法：1+2+3+... ~ -1/12

本文以两种方式给出对黎曼 zeta 函数 $\zeta$ 在 $-1$ 处取值的标度与重整化方法。第一种中，取 $U_{n}:=\sum_{q=1}^{n}q$ 与 $4U_{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$ 之差，其中 $\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor$ 为取整函数。两次使用切萨罗平均，即 $\left( C,2\right)$，可收敛至适当值。对于 zeta 函数由收敛无穷级数表示的 $z$ 值，双重切萨罗平均亦给出 $\zeta\left( z\right)$，表明这可用作从 $z$ 收敛区域进行拓展的替代方法。第二种方法中，证明 $U_{n}$ 与一特定平均 $\bar{U}_{n/k}$（含至 $k<n$ 的项且以 $k^{2}$ 标度）之差 $U_{n}-k^{2}\bar{U}_{n/k}$ 对所有 $k<n$ 精确等于 $-\frac{1}{12}\left( 1-k^{2}\right)$。这给出了解释 $\zeta\left( -1\right)$ 的另一种视角。