黎曼 zeta 函数零点的动态方法——碰撞与排斥

对 $N \in \mathbb{N}$，考虑近似函数方程的 $N$ 段和 $$\zeta_N(s)= \sum_{n =1 }^N B_n(s),$$ 其中 $$B_n(s)= \frac{1}{2} \left [ n^{-s} + \chi(s) \cdot n^{s-1} \right ].$$ 本工作的目标是通过研究 $\zeta_N(s)$ 的连续零点对随 $N$ 变化的方式，为黎曼假设引入一种新方法。在初始阶段，已知 $\zeta_1(s)$ 的非平凡零点皆位于临界线 $Re(s)=\frac{1}{2}$ 上。在区域 $2N \leq Im(s) \leq 2 \pi (N+1)$ 中，函数 $\zeta_N(s)$ 作为 $\zeta(s)$ 本身的近似，且 Spira 猜想在该区域中 $\zeta_N(s)$ 也仅承认位于临界线上的零点。我们表明，段和在非临界线上零点的出现可实现为两个连续零点相遇并随着 $N$ 变化将彼此推离临界线的结果，我们将此过程称为零点碰撞。基于对 $\zeta_N(s)$ 性质的研究，我们提出一种重新排列 $\zeta_{N}(s)$ 中元素 $B_n(s)$ 求和次序的方法，其中 $N=\left [ \frac{Im(s)}{2} \right ]$，该方法有望完全避免碰撞，我们称此种重新排列为排斥重排。特别地，证明所提排斥重排确实对任意零点对避免碰撞，将蕴含 RH。