关于负正则性一般函数的随机化的一点注记

在具有随机初值数据的偏微分方程（PDE）研究以及具有随机强迫的奇异随机PDE研究中，我们典型地将经典上定义不良的求解映射分解为两步，其中第一步利用随机分析构造各类随机对象。此类随机对象中最简单的是基本随机项（即随机线性解、随机卷积或其和）的Wick幂。针对研究非线性波动方程（NLW）所用的负正则性一般函数的随机化初值数据，我们通过给出略微在$L^2(\mathbb T^d)$之外的函数例子，使得相应的Wick幂不存在，从而说明了构造Wick幂时需施加额外的Fourier-Lebesgue正则性的必要性。这表明带有一般随机化初值数据的NLW的概率适定性理论在负Sobolev空间中失效（即使经过重正化）。类似例子也适用于带有一般时间白噪声随机强迫的随机NLW与随机非线性热方程，说明了在构造相应随机卷积的Wick幂时适当的Fourier-Lebesgue $\gamma$-radonifying正则性的必要性。