关于实交换 Banach 代数中圆柱嵌入的一点注记

设 $A$ 为带单位元的实交换 Banach 代数。设 $a_0\in A\setminus\{0\}$。令 $\mathbb Z a_0:=\{na_0\}_{n\in \mathbb Z}$。则 $\mathbb Z a_0$ 是 $A$ 的一个离散子群。对任意 $n\in \mathbb Z$,映射 $$x \, \in \, A \ \ \ \mapsto \ \ \ x+na_0 \, \in \, A$$ 的 Fréchet 导数是 $A$ 上的恒等映射,特别地,是 $A$ 上的 $A$-线性变换。因此,商群 $A/(\mathbb Z a_0)$ 是一个 $1$ 维 $A$-流形,且覆盖投影 $$x \, \in \, A \ \ \ \mapsto \ \ \ x+\mathbb Z a_0 \, \in \, A/(\mathbb Z a_0)$$ 是一个 $A$-映射。我们称 $A/(\mathbb Z a_0)$ 为由 $a_0$ 生成的 $1$ 维 $A$-圆柱。设 $T$ 为紧 Hausdorff 空间。假设存在 $t_1\in T$ 与 $t_2\in T$ 使得 $t_1\not=t_2$ 成立。则 $T$ 上所有实值连续函数的集合 $C(T;\mathbb R)$ 是一个带单位元的实交换 Banach 代数,且 $\mathbb R \, \subsetneq \, C(T;\mathbb R)$ 成立。本文证明:存在 $a_0 \, \in \, C(T;\mathbb R)\setminus \mathbb R$,使得对任意 $k\, \in \, \mathbb N$,由 $a_0$ 生成的 $1$ 维 $C(T;\mathbb R)$-圆柱 $(C(T;\mathbb R))/(\mathbb Z a_0)$ 都不能作为 $C(T;\mathbb R)$-子流形嵌入到有限直积空间 $(C(T;\mathbb R))^k$ 中。