关于圆盘填充与调和函数数值积分的一个注记

我们关注以下问题：给定一个有界开区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$，最大的常数 $\alpha = \alpha(\Omega) > 0$ 是多少，使得存在无限圆盘序列 $B_1, B_2, \dots, B_N, \dots \subset \mathbb{R}^2$ 和序列 $(n_i)$（其中 $n_i \in \left\{1,2\right\}$），满足 $$\sup_{N \in \mathbb{N}}{N^{\alpha}\left\| \chi_{\Omega} - \sum_{i=1}^{N}{(-1)^{n_i}\chi_{B_i}}\right\|_{L^1(\mathbb{R}^2)}} < \infty,$$ 其中 $\chi$ 表示特征函数？我们证明了某些（略显奇特的）区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 满足该性质，且 $\alpha = 0.53$。对于这些区域，$\Omega$ 内存在点序列 $(x_i)_{i=1}^{\infty}$ 及权重序列 $(a_i)_{i=1}^{\infty}$，使得对于所有调和函数 $u:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$，有 $$\left|\int_{\Omega}{u(x)dx} - \sum_{i=1}^{N}{a_i u(x_i)}\right| \leq C_{\Omega}\frac{\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}}{N^{0.53}},$$ 其中 $C_{\Omega}$ 仅依赖于 $\Omega$。这提供了一种针对调和函数的准蒙特卡洛（Quasi-Monte-Carlo）方法，该方法改进了概率蒙特卡洛界限 $\|u\|_{L^{2}(\Omega)}/N^{0.5}$，且\textit{未}引入对全变差的依赖。我们尚不清楚何种衰减率是最优的。