关于 H(div)-协调有限元通量逼近散度精度阶的一点注记

在 $\mathbf{H}(\mbox{div}, {\Omega})$ 中构造有限元逼近通常需要 Piola 变换，以将向量多项式从参考元映射到区域 ${\Omega}$ 剖分各单元中的向量场。已知当使用非仿射几何映射时，收敛阶可能出现退化。就此，我们重访本期刊近期一篇论文（Comput. Math. Appl. 74 (2017) 3283-3295）中讨论的二维通量逼近改进的一般过程。出发点是已知的逼近格式，其对充分光滑通量函数给出阶 $k+1$ 的 $L^2$ 误差，对通量散度给出阶 $r+1$ 的误差。例如四边形网格上的 $RT_{k}$ 空间，当采用线性或双线性几何同构时 $r = k$ 或 $k-1$。此外，要求原空间由边与内部形状通量函数的因子分解表示。目标是定义一列 enriched 通量逼近，以按需达到任意更高的散度精度阶 $r+n+1$，对任意 $n \geq 1$。enriched 版本通过在第 $k+n$ 层添加原空间族更高阶内部形状函数定义，同时保留第 $k$ 层原始边界通量。所述文献中已对两个特例讨论了 $n=1$ 情形。我们将分析更一般的强化 $n>1$ 并应用于 Darcy 流模拟，待求解的全局凝聚系统与原格式具有相同维数与结构。