凸四边形上的直接 serendipity 与混合有限元

经典的 serendipity 与混合有限元空间在非退化凸四边形上逼近性能较差。本文发展了 $\textit{direct serendipity}$（直接 serendipity）与 $\textit{direct mixed}$（直接混合）有限元空间，其达到最优逼近性质且具有极小局部维数。serendipity 或混合元的局部形函数集合分别包含直接定义在每个单元上的次数 $r$ 的标量或向量多项式的完整集合（即不从参考元映射而来）。由于全局 $H^1$ 或 $H(\textrm{div})$ 协调性所需的自由度不足，必须向每个单元恰好添加两个补充形函数。补充函数的具体选择产生了不同的直接元族。这些新空间通过 de Rham 复相关联。对指标 $r\ge1$，新的 serendipity 空间族 ${\cal{DS}}_{r+1}$ 是我们的直接混合有限元空间 ${\mathbf{V}}_r$ 在 curl 算符下的前驱，后者可构造为具有完全或削减的 $H(\textrm{div})$ 逼近性质。一种直接 serendipity 补充的选择是近期引入的 Arbogast-Correa 空间 [SIAM J. Numer. Anal., 54 (2016), pp.~3332--3356] 的前驱。其他 $\textit{fully}$（完全）直接 serendipity 补充可在不使用参考元映射的情况下定义，并进而给出 $\textit{fully}$（完全）直接混合空间。给出了数值结果以说明新空间的性质。