Willmore 型能量的柱面临界点、加权面积与竖直势能之间的关系
微分几何
2022-12-23 v2
摘要
本文考虑三种不同物理情景的能量，并在特定情形下获得它们之间的关系。第一族能量包含涉及平均曲率幂积分的 Willmore 型能量，它推广了 Willmore 和 Helfrich 能量。第二族能量是加权流形中出现的面积泛函，遵循 Gromov 发展的理论，当密度为高度函数的幂时。第三族是沉积在水平超平面上的流体在势能依赖于相对于该超平面的高度时的自由能。在本文中，当临界点是柱面型超曲面时，我们找到了它们之间的每种关系。柱面超曲面由其生成平面曲线确定，对于每族能量，这些曲线满足适当的常微分方程。对于 Willmore 型能量，方程为四阶，而其他两种情形为二阶。我们证明在适当选择物理参数后，无面积约束的 Willmore 型能量的生成曲线与加权面积的生成曲线重合，类似结果对 Willmore 型能量与竖直势能的生成曲线也成立。在所有情形中，生成曲线都是推广经典弯曲能量的一族能量的临界点。在论文最后一节，我们分析了具有竖直势能的沉积在水平超平面上的液滴的稳定性。证明若流体的自由界面是该超平面上的图，则超曲面是稳定的，即它是能量的局部极小元。事实上，我们证明该超曲面在所有具有相同边界的图类中是全局极小元。
引用
@article{arxiv.2206.01070,
title = {A relation between cylindrical critical points of Willmore-type energies, weighted areas and vertical potential energies},
author = {Rafael López and Álvaro Pámpano},
journal= {arXiv preprint arXiv:2206.01070},
year = {2022}
}