一类类Bézier曲线的有理参数化

本文利用一类有理参数化构造了一族Bernstein函数。该有理Bernstein基定义在指标 $\alpha \in {\left(-\infty \, , \, 0 \right)}\cup {\left(1 \, , \,+\infty\right)}$ 上，对于给定的次数 $k\in \mathbb{N}^*$，这些基函数均为有理函数，其分子与分母均为k次多项式。该有理Bernstein基保持正性、单位分解等所有经典性质，并构成连续函数空间的逼近基函数。所得Bézier曲线满足经典性质，且具备deCasteljau算法与细分算法等经典计算算法，并具有相近的精度。给定次数k与控制多边形顶点，所有这些算法均收敛于与经典情形相同的Bézier曲线。这意味着Bézier曲线与指标 $\alpha$ 无关。经典多项式Bernstein基似乎是我们这类新有理Bernstein基的渐近情形。