素特征域上的二次 Poisson Gel'fand-Kirillov 问题

二次 Poisson Gel'fand-Kirillov 问题探讨的是 Poisson 代数的分式域是否 Poisson 双有理等价于一个 Poisson 仿射空间，即等价于一个多项式代数 $\K[X_1,..., X_n]$，其 Poisson 括号由 $\{X_i,X_j\}=\lambda_{ij} X_iX_j$ 定义，其中 $(\lambda_{ij}) \in M_n(\K)$ 为某个反对称矩阵。文献 \cite{GL} 在特征 0 域上通过使用 Cauchon 删除导子算法的 Poisson 版本研究了该问题。本文在任意特征的域上研究二次 Poisson Gel'fand-Kirillov 问题。特别地，我们证明了一大类作为量子化坐标环的半经典极限出现的 Poisson 代数满足二次 Poisson Gel'fand-Kirillov 问题。为此，我们引入了{\it 高阶 Poisson 导子}的概念，这使得我们能够将删除导子算法的 Poisson 版本从特征 0 情形推广到任意特征情形。当环面通过 Poisson 自同构有理地作用于一个作为量子化坐标环的半经典极限出现的 Poisson 多项式代数时，我们证明（在某些技术假设下）Poisson 素环面不变理想的商代数也满足二次 Poisson Gel'fand-Kirillov 问题。特别地，我们证明行列式簇的坐标环满足二次 Poisson Gel'fand-Kirillov 问题。