Lehmer 猜想的一个证明

Lehmer 猜想被证明为真。证明主要依赖于：(i) 与 R\'enyi--Parry 算术动力系统（$\beta$-移位）的动力学 zeta 函数 $\zeta_{\house{\alpha}}(z)$ 相关联的 Parry 上函数 $f_{\house{\alpha}}(z)$ 的性质，其中 $\alpha$ 是 house $\house{\alpha}$ 大于 1 的反数代数整数；(ii) 发现了 $\zeta_{\house{\alpha}}(z)$ 的极点的小透镜集，当 $\house{\alpha}$ 趋于 $1^+$ 时，这些极点在单位圆的一个极限“小透镜”弧上一致等分布，从而给出 Mahler 测度 ${\rm M}(\alpha)$ 的一个连续小透镜下界 ${\rm M}_{r}(\house{\alpha})$；(iii) 这些极点以及该下界 ${\rm M}_{r}(\house{\alpha})$ 作为动力学度函数的 Poincar\'e 渐近展开。Schinzel-Zassenhaus 猜想被证明为真。获得了 M$(\alpha)$ 的 Dobrowolski 型下界。所得 M$(\alpha)$ 的通用下界为 $\theta_{\eta}^{-1} > 1$，对某个整数 $\eta \geq 259$，其中 $\theta_{\eta}$ 是 $-1+x+x^{\eta}$ 的正实根。证明了 Salem 数集合以下界 Perron 数 $\theta_{31}^{-1} = 1.08545\ldots$ 为界，其为三项式 $-1 - z^{30} + z^{31}$ 的主根。Lehmer 数是否为最小 Salem 数仍属开放问题。对于 Mahler 测度小于最小 Pisot 数 $\Theta = 1.3247\ldots$ 且 house 的动力学度趋于无穷的代数整数序列，其共轭的 Galois 轨道测度被证明收敛于 $|z|=1$ 上的 Haar 测度（极限等分布）。利用动力学 zeta 函数研究了代数整数在 (1, 1.176280 . . .] 范围内（若存在）的极小 Mahler 测度域。