Runge-Kutta 方法用于非线性振子的全局误差的先验估计

我们将 Alekseev-Gröbner 引理与修正方程理论相结合，得到数值积分器全局误差的一个先验估计。该估计精确到阶为 $h^{2p}$ 的余项，其中 $h$ 表示步长，$p$ 表示方法的阶。它应用于一类非自治线性振荡方程（包含 Airy 方程），从而改进了先前仅给出 $h^p$ 项的工作。接下来，考虑行为由 Emden-Fowler 方程 $y'' + t^\nu y^n = 0$ 描述的非线性振子，并计算 Runge-Kutta 方法所犯的全局误差。数值实验表明所得估计通常是准确的。主要结论是我们需要做完整计算才能获得好的估计：其行为不同于线性情形，仅看首项是不够的，仅考虑局部误差也不能给出准确的图景。