对称群中的一个“幂”共轭方程

首先我们考虑对称群 $S_{n}$ 中一般“三次”方程 $a_{1}x^{r1}a_{2}x^{r2}a_{3}x^{r3}=1$ (其中 $r1,r2,r3 \in \{1,-1\}$) 的解。在某些情况下,该方程可重写为 $aya^{-1}=y^{2}$ 或 $aya^{-1}=y^{-2}$,其中 $a \in S_{n}$ 依赖于 $a_{i}$,而新未知置换 $y \in S_{n}$ 是 $x$(或 $x^{-1}$)与置换 $a_{i}^{1}$ 和 $a_{i}^{-1}$ 之一的乘积。利用组合论证和一些基本的数论事实,我们获得了关于对称群中所谓幂共轭方程 $aya^{-1}=y^{e}$ 解的结果,其中 $e$ 为整数指数。在某些条件下,这些解恰好是 $a$ 的中心化子中 $y^{e-1}=1$ 的解。