二元 Mumford-Shah 模型的后验误差控制

二元 Mumford-Shah 模型是图像分割的广泛工具，可视为形状优化中的基本模型，在计算机视觉中有广泛应用，从基本分割和标记到目标重建。本文针对一个自然的误差量，即未正确分割区域的面积，给出了稳健的后验误差估计。为此，研究了原始非凸泛函的一个合适的严格凸无约束松弛，并采用 Repin 的泛函方法进行后验误差估计，以控制松弛问题在 $L^2$ 范数下的数值误差。结合合适的切割论证，导出了完全实用的面积失配估计。该估计被纳入自适应网格策略中。研究并比较了两种不同的自适应原始对偶有限元格式以及最常用的有限差分离散化。数值实验展示了估计的定性和定量性质，并证明了其在实际应用中的有用性。