相当比例的平面三次曲线不满足 Hasse 原理

当按照系数高度对所有 $\mathbb Z$ 上的三元三次型进行排序时，我们证明了其中正比例的部分不满足 Hasse 原理，即它们在 $\mathbb Q$ 的每个完备化域上均有零点，但在 $\mathbb Q$ 上无零点。我们还证明了 $\mathbb Z$ 上所有三元三次型中有正比例的部分非平凡地满足 Hasse 原理，即它们在 $\mathbb Q$ 的每个完备化域上拥有零点，并且在 $\mathbb Q$ 上也拥有零点。类似的结论也被证明适用于其他亏格一模型，即形式为 $z^2=f(x,y)$ 的方程（其中 $f$ 是 $\mathbb Z$ 上的二元四次型），以及 $\mathbb P^3$ 中二次曲面对的交集。