$\liminf_{N\to\infty} \prod_{r=1}^N \left| 2\sin \pi r \varphi \right|$的一个正下界

近60年前，Erd\H{o}s与Szekeres提出如下问题：是否对所有无理数$\alpha$都有$$\liminf_{N\to \infty} \prod_{r=1}^N \left| 2\sin \pi r \alpha \right| =0$$。尽管表述简单，该问题一直未获解答。Lubinsky于1999年证明，若$\alpha$具有无界连分数系数则答案为是，并猜想一般情况下答案也是肯定的。然而，我们在本文中证明对于黄金分割比$\varphi=(\sqrt{5}-1)/2$，$$\liminf_{N\to \infty} \prod_{r=1}^N \left| 2\sin \pi r \varphi \right| >0 ,$$从而对这一长期未决的开问题给出了否定回答。