带三个约束的庞加莱型不等式

本文考虑一个由平面中定量等周不等式所激发的变分法问题。更确切地说，本文旨在计算如下变分问题的最小值 $$\inf_{u\in\mathcal{W}}\frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}[(u')^2-u^2]d\theta}{\displaystyle\left[\int_{-\pi}^{\pi}|u| d\theta\right]^2}$$其中 $u\in \mathcal{W}$ 是 $H^1(-\pi,\pi)$ 周期函数，在 $(-\pi,\pi)$ 上均值为零且与正弦和余弦正交。