Pippenger 不可靠门布尔网络概率失效模型中的相变与随机占优

我们研究 Pippenger 的不可靠门布尔网络模型。在该模型中，给定网络中任意先于某特定门失效的子集的失效状态，该特定门失效的条件概率由上界 $\epsilon$ 所界定。我们证明，若按照 Barak-Erd\H{o}s 随机无环有向图模型随机选取一个具有 $n$ 个门的布尔网络，使得期望边密度为 $c n^{-1}\log n$，且若 $\epsilon$ 等于某顶点最大自反传递闭包（关于随机有向图的一个特定实现）大小的一个特定函数，则 Pippenger 模型在 $c=1$ 处呈现相变。即，当 $n\to\infty$ 时以概率 $1-o(1)$ 有如下结论：对于 $0 \le c \le 1$，在所有与 Pippenger 模型相容的的门失效概率分布上取的最小的无门失效概率等于 $o(1)$，而对于 $c >1$ 则等于 $\exp(-\frac{c}{e(c-1)}) + o(1)$。我们还指出，如何借助随机占优的工具对 Pippenger 模型进行更精细的分析，例如用于估计单调事件的概率。