二维随机场 Ising 模型的相变与临界现象

我们研究边长为 $N$ 的二维盒子中的随机场 Ising 模型，其中外场由均值为 $0$、方差为 $\epsilon^2$ 的独立正态变量给出。我们的主要结果是在 $T = T_c$ 处的如下相变：对于 $\epsilon \ll N^{-7/8}$，边界影响（即盒子中心处加与减边界条件下自旋平均值的差）以 $N^{-1/8}$ 衰减，因而无序对边界影响基本无作用；对于 $\epsilon \gg N^{-7/8}$，边界影响以 $N^{-\frac{1}{8}}e^{-\Theta(\epsilon^{8/7}\, N)}$ 衰减（即无序对衰减率贡献了因子 $e^{-\Theta(\epsilon^{8/7}\, N)}$）。对于关联长度的一个自然定义，即边界影响相较无外场时缩减为一半的盒子最小尺寸，我们还证明：当 $\epsilon\downarrow 0$ 时，关联长度在 $T_c$ 处由 $\Theta(\epsilon^{-8/7})$ 转变为 $T < T_c$ 时的 $e^{\Theta(\epsilon^{-4/3}\,\,)}$。