Aubry-Andr\'{e} 类模型局域化转变的数值研究

我们利用基于现代极化理论的工具，对 Aubry-Andr\'{e} 模型的局域化转变进行数值研究。在该模型中，势的空间调制系数 $\alpha$ 为无理数，我们将其近似为斐波那契数之比 $F_{n+1}/F_n$，其中 $F_n=L$ 也是系统规模。我们随函数计算粒子密度（填充）和势强度 $W$ 的相图。我们计算了几何 Binder 累积量，并应用了重整化方法。在给定有限系统规模时，我们发现许多密度处的转移发生在或接近 $W=2t$（$t$ 表示跳跃）。在此处已知单粒子态会局域化。然而，我们也发现“尖峰”，即在 $0<W<2t$ 范围内发生转移的密度。这些尖峰发生在没有部分填充带的密度处。随着系统规模（以及 $F_n$ 和 $F_{n+1}$ 中的 $\alpha$）的增加，这些尖峰趋向于零，但发生它们的密度也会略有改变：它们趋向于可以表示为斐波那契数之比或其和的无理数。对于固定比例的所有系统规模的密度，转移发生在 $W=2t$。我们还研究了原始 Aubry-Andr\'{e} 模型的扩展，加入了第二最近邻跳跃。这一模型也表现出扭曲的相图，尖峰不一定趋向于零，而是趋向于由修改的能隙结构决定的有限 $W$ 值。