关于 Lerch 超越函数的渐近展开的一点注记

在 Ferreira 与 L\'opez 的先前论文 [Journal of Mathematical Analysis and Applications, 298(1), 2004] 中，作者推导了 Lerch 超越函数 $\Phi(z,s,a)$ 在 $\vert a\vert$ 较大时的渐近展开，该展开对 $\mathrm{Re}(a)>0$、$\mathrm{Re}(s)>0$ 且 $z\in\mathbb{C}\setminus[1,\infty)$ 成立。本文研究先前结果未覆盖的 $z\ge 1$ 特殊情况，推导了当 $\mathrm{Re}(a)$ 趋于无穷时，对 $z > 1$ 且 $\mathrm{Re}(s)>0$ 的 Lerch 超越函数 $\Phi(z,s,a)$ 的完整渐近展开。我们还证明当 $a$ 为正整数时，该展开在 $\mathrm{Re}(z) \ge 1$ 时收敛。作为推论，我们得到固定 $z >1$ 时求和 $\sum_{n=1}^{m} z^{n}/n^{s}$ 当 $m \to \infty$ 的完整渐近展开。一些数值结果显示了近似的精度。