关于 Oliver 的 p-群猜想的注记

设 $S$ 为奇素数 $p$ 的 $p$-群，Oliver 提出猜想：Thompson 子群 $J(S)$ 总包含于 Oliver 子群 $\mathfrak{X}(S)$ 中。即他猜想 $|J(S)\mathfrak{X}(S):\mathfrak{X}(S)|=1$。令 $\mathfrak{X}_1(S)$ 为 $S$ 的子群，使得 $\mathfrak{X}_1(S)/\mathfrak{X}(S)$ 是 $S/\mathfrak{X}(S)$ 的中心。在这篇短注中，我们证明 $J(S)\leq \mathfrak{X}(S)$ 当且仅当 $J(S)\leq \mathfrak{X}_1(S)$。作为一个简单应用，我们证明 $|J(S)\mathfrak{X}(S):\mathfrak{X}(S)|\neq p$。