关于剧烈乘积逻辑的一个注记

已知剧烈乘积$*_D$是最小的t-范数，因为当$x, y < 1$时，$x *_D y = 0$。该t-范数不是左连续的，因此它没有剩余。所以，在[EG01]的意义上，不存在基于剧烈乘积t-范数的多值逻辑。然而，如果我们放弃标准完备性，我们可以研究一种逻辑，其语义由那些幺半群运算是剧烈乘积的MTL链提供。这种逻辑在[NOG06]中被称为${\rm S}_{3}{\rm MTL}$。在本文中，我们通过一些有趣的性质来证明研究这种逻辑的合理性，我们将其重新命名为DP（代表剧烈乘积），这些性质将DP及其代数语义与弱化的排中律、$\Delta$投影算子和判别子簇联系起来。我们将证明有限DP-代数的范畴对偶等价于一个范畴，其对象是有限链的多重集。这种对偶性使我们能够分类DP的所有公理扩展，并计算自由有限生成的DP-代数。