关于泊松泛函与 $q$-变形 Dufresne 恒等式的注记

在本注记中，我们计算了泊松指数泛函的 Mellin 变换，其底层过程为简单的连续时间随机游走。结果表明，该泊松泛函可以用 $q$-gamma 随机变量的倒数来表示。该结果插值了两个已知结果。当随机游走仅具有正增量时，我们恢复了 Bertoin、Biane 和 Yor 的一个定理。在布朗极限 ($q \rightarrow 1^-$) 下，恢复了涉及逆 gamma 随机变量的 Dufresne 恒等式。因此，可以将其视为 $q$-变形的 Dufresne 恒等式。