一个非有限生成的Frobenius映射代数

本文旨在回答Gennady Lyubeznik和Karen Smith提出的一个问题。该问题涉及以下非交换代数的有限生成性。设$S$为特征为素数$p$的任意交换代数。对于任意$S$-模$M$和所有$e\geq 0$，我们令$\mathcal{F}^e(M)$表示所有满足对所有$s\in S$和$m\in M$有$\phi(s m)=s^{p^e} \phi(m)$的加法函数$\phi: M \to M$的集合。对于所有$e_1, e_2 \geq 0$，以及$\phi_1\in \mathcal{F}^{e_1}(M)$，$\phi_2\in \mathcal{F}^{e_2}(M)$，复合映射$\phi_2 \circ \phi_1$属于$\mathcal{F}^{e_1+e_2}(M)$。此外，每个$\mathcal{F}^{e}(M)$通过$\phi_0 \phi=\phi_0 \circ \phi$成为$\mathcal{F}^{0}(M)=\Hom_{S}(M,M)$上的模。现在我们定义$\mathcal{F}(M)=\oplus_{e\geq 0} \mathcal{F}^e(M)$，并赋予其$\Hom_{S}(M,M)$-代数结构，乘法由复合给出。我们构造了一个完备局部环$S$上的阿廷模的例子，使得$\mathcal{F}(M)$不是有限生成的$\Hom_{S}(M,M)$-代数，从而对Lyubeznik和Smith提出的问题给出了否定答案。