离散可压缩多维barotropicNavier--Stokes方程的无结果定理及其解决

可压缩多维barotropicNavier--Stokes方程以向量不变形式表述，保留了系统的涡旋结构，为现代大气和海洋动力学核心提供了基础，然而目前尚未为该向量不变形式下的离散系统构建PDE理论。在Delaunay-Voronoi网格上，我们通过离散外微积分方法证明，每个与积分配分一致的密度独立质量矩阵都携带一个符号不确定的 $\OO(h^2)$ 能量残差，没有任何算子选择能消除这种残差。该无结果定理覆盖A、B、C、D和准B网格的错位。密度加权质量矩阵是唯一的代数解决方案：它在保持向量不变动量方程、拉格姆反交对称性和拓扑守恒律的前提下，恢复了精确的总能量，代价是匹配收敛率的 $\OO(h^{r_\star})$ 克劳福德缺陷。该残差是Hollingsworth不稳定的根源，这一不稳定现象一直影响着向量不变动力学核心的设计；密度加权构造从结构上消除了它。对于在闭合光滑黎曼流形上进行的密度加权（DW）方案，在 $d = 2, 3$ 维度上，我们建立了对于 $\nu \ge 0$ 的全局良好可解性，统一收敛于光滑解，以及在低马赫数极限下的渐近保持。密度自由的残差按 $\OO(M^{-1})$ 发散。通过离散Arnold能量-卡西米尔构造，确切的离散守恒导致在三类平衡点附近的Lyapunov稳定性：对水动力学和恒定流动分层状态的无条件稳定性，对剪切条爪状态的条件稳定性（基于离散Charney-Stern准则），均不包含Hollingsworth不稳定。DW方案仅在连续方程本身允许时才容许真正的条爪不稳定。