欧几里得距离函数的新变分原理：非线性程函问题的线性方法

我们提出了一种基于快速卷积的技术，用于在一组二维和三维网格点上计算近似的带符号欧几里得距离函数 $S$。我们的解并非求解非线性的静态 Hamilton-Jacobi 方程（$\|\nabla S\|=1$），而是首先求解线性微分方程中的标量场 $\phi$，然后通过取负对数导出 $S$ 的解。换言之，当 $S$ 和 $\phi$ 通过 $\phi = \exp \left(-\frac{S}{\tau} \right)$ 相关联，且 $\phi$ 满足对应于某一变分问题极值的特定线性微分方程时，我们得到近似欧几里得距离函数 $S = -\tau \log(\phi)$，该函数在 $\tau \rightarrow 0$ 的极限下收敛于真实解。这与快速行进和快速扫描等技术形成鲜明对比，后者通过 Godunov 迎风离散化格式直接求解 Hamilton-Jacobi 方程。我们的线性公式导出了近似欧几里得距离函数的闭式解，该解可表示为离散卷积，因此可使用快速傅里叶变换（FFT）高效计算。我们的解还规避了对导数算子进行空间离散化的需求。当 $\tau\rightarrow0$ 时，我们证明了结果向真实解的收敛性，并给出了给定 $\tau$ 值下的误差界限。我们解的可微性使我们能够——通过一组卷积——计算近似距离函数的一阶和二阶导数。为了确定距离函数的符号（定义为在封闭区域内部为正，外部为负），我们在二维中计算环绕数，在三维中计算拓扑度，其计算同样可通过快速卷积执行。我们通过一组实验结果展示了该方法的有效性。