AT4 族的一个新可行性条件

设 $\Gamma$ 为直径 $4$ 且特征值为 $\theta_0>\theta_1>\theta_2>\theta_3>\theta_4$ 的对径距离正则图。当 $\Gamma$ 是局部强正则且非平凡特征值为 $p:=\theta_2$ 与 $-q:=\theta_3$ 时，$\Gamma$ 在 Jurišić、Koolen 和 Terwilliger [12] 意义下是紧的。假设 $\Gamma$ 是紧的。则 $\Gamma$ 的交数由 $p$、$q$ 和 $r$ 表示，其中 $r$ 为 $\Gamma$ 的对径类大小。我们将 $\Gamma$ 记为 $\mathrm{AT4}(p,q,r)$，并称其为参数为 $p,q,r$ 的直径 $4$ 对径紧图。本文给出 $\mathrm{AT4}(p,q,r)$ 族的一个新可行性条件。我们确定了 $\mathrm{AT4}(p,q,2)$ 的第二子成分是对径紧图的充要条件。利用该条件，我们证明了对 $q\equiv3$ $(\mathrm{mod}~4)$ 不存在 $\mathrm{AT4}(q^3-2q,q,2)$。我们讨论了满足 $r=(p+q^3)(p+q)^{-1}$ 的 $\mathrm{AT4}(p,q,r)$ 图。