拟算术平均数之差的一个新估计

20 世纪 60 年代，Cargo 和 Shisha 证明了关于拟算术平均数之间距离的一些主要化结果（拟算术平均数定义为 $f^{-1}(\sum_{i=1}^{n} w_i f(a_i))$，其中 $f:I\to\mathbb{R}$ 为任意连续严格单调函数，$I$ 为区间，$a=(a_1,...,a_n)$ 为分量在 $I$ 中的向量，$w=(w_1,...,w_n)$ 为对应的权重序列，满足 $w_i>0$ 且 $w_1+...+w_n=1$）。近三十年后的 1991 年，P\`ales 提出了一列拟算术平均数收敛于另一个拟算术平均数的充要条件。该条件与三参数算子 $(f(x)-f(z))/(f(x)-f(y))$ 密切相关。作者最近给出了底层函数满足某些光滑性条件的此类拟算术平均数之间距离的一个估计，所用算子为 Mikusi\'nski 和 \L{}ojasiewicz 于 20 世纪 40 年代引入的 $f \mapsto f''/f'$。自然地，人们会寻求在底层函数不光滑情况下的类似估计，例如通过使用 P\`ales 算子。本文正是为此而作。此外，该结果加强了作者早期的估计。