任意多项式次数的$m$阶拉普拉斯方程的新离散化

本文基于张量值函数的新型Helmholtz型分解，引入了形如 $(-1)^m\Delta^m u=f$（任意 $m=1,2,3,\dots$）的 $m$阶拉普拉斯方程的新混合格式与离散化。新离散化允许任意多项式次数的试探空间，且最低阶选择对于 $m=1$ 对应于Crouzeix和Raviart的非协调有限元，对于 $m=2$ 对应于Morley非协调有限元。由于导数被直接近似，最低阶离散化对于任意 $m=1,2,\dots$ 由分片仿射和分片常数函数构成。此外，对任意 $m$ 的统一实现是可能的。除先验与后验分析外，本文证明了新离散化的自适应算法的最优收敛率。