有理稳定参数化同伦论的新方法

本工作在任意基空间上发展了有理稳定参数化同伦论的全面代数模型。建立在May-Sigurdsson参数化谱的单纯形类比之上，以及完全微分格 Lie代数同伦论之上，我们构建了一个显式的Quillen等价序列，将单纯形可逆谱的同伦论翻译到纯代数框架中，即完整的微分格$\widehat{UL}$模的同伦论，其中$\widehat{UL}$是以Lie模型$L$为基础的单纯形集$B$的完成普遍包围代数的完成版。显式地，存在一系列Quillen等价 $$\mathbf{Sp}_B \leftrightarrows \mathbf{Sp}_L \leftrightarrows \mathbf{Sp}_{\widehat{UL}}^0 \leftrightarrows \mathbf{cdgm}_{\widehat{UL}}$$ 它诱导出自然的、强单 monoidal等价 $${\rm Ho}\,\mathbf{Sp}_B^{\Bbb Q}\cong {\rm Ho}\, \mathbf{cdgm}_{\widehat{UL}}.$$ 这种等价在实践中非常有效，因为它通过将单纯形谱的不变量翻译到$\widehat{UL}$-模的同伦不变量中，提供了直接的计算途径。此处$\mathbf{Sp}_B$表示以$B$为基的单纯形可逆谱的稳定模型范畴，$\mathbf{Sp}_L$表示以$L$为基的单纯形可逆完备微分格 Lie代数谱的稳定模型范畴，$\mathbf{Sp}_{\widehat{UL}}^0$表示已连接$\widehat{UL}$-模块谱的稳定模型范畴，$\mathbf{cdgm}_{\widehat{UL}}$表示完整微分格$\widehat{UL}$-模的范畴。