Chung-Diaconis-Graham随机过程的一种乘法对称化版本

本文考虑形如$X_{n+1}=a_nX_n+b_n \pmod p$的随机过程，其中$p$为奇数，$X_0=0$，$(a_0,b_0), (a_1,b_1), (a_2,b_2),...$为独立同分布，且$a_n$与$b_n$独立，满足$P(a_n=2)=P(a_n=(p+1)/2)=1/2$以及$P(b_n=1)=P(b_n=0)=P(b_n=-1)=1/3$。这可视为Chung、Diaconis与Graham随机过程的一种乘法对称化版本。本文证明，对所有奇数$p$，阶为$(\log p)^2$步足以使$X_n$在模$p$整数上接近均匀分布，而阶为$(\log p)^2$步也是使$X_n$在模$p$整数上接近均匀分布所必需的。