修正 Caldero-Chapoton 映射的乘法公式

现代意义上的饰带（frieze）是从三角范畴 $\mathsf{C}$ 的对象集到某个环的映射。饰带 $X$ 的特征性质是：若 $\tau x\rightarrow y\rightarrow x$ 是 $\mathsf{C}$ 中的 Auslander-Reiten 三角形，则 $X(\tau x)X(x)-X(y)=1$。饰带的典型例子是（原始）Caldero-Chapoton 映射，它将簇范畴的对象发送到簇代数的元素。在 \cite{friezes1} 和 \cite{friezes2} 中，引入了广义饰带的概念。广义饰带 $X'$ 具有更一般的性质，即 $X'(\tau x)X'(x)-X'(y)\in\{0,1\}$。广义饰带的典型例子是修正 Caldero-Chapoton 映射，同样引入于 \cite{friezes1} 和 \cite{friezes2}。在此，我们发展并补充了 \cite{friezes2} 中的结果。我们为修正 Caldero-Chapoton 映射中的两个映射 $\alpha$ 和 $\beta$ 定义了条件 F，并且当 $\mathsf{C}$ 为 2-Calabi-Yau 时，我们证明该条件足以替代 \cite{friezes2} 中一个更为技术性的“类饰带”条件。我们还证明了修正 Caldero-Chapoton 映射的乘法公式，这在实践中显著简化了其计算。